1. NP-完全问题

NP-完全问题代表了一类"求解非常困难、但验证比较简单"的问题：给定一个候选解，可以在多项式时间内检验其正确性，但目前没有已知的多项式时间算法能一般性地求解。它们是计算复杂性理论的核心——Cook–Levin 定理、Karp 1972 年列出的 21 个问题奠定了整个理论框架。典型代表包括旅行商问题 (TSP)、布尔可满足性 (SAT)、图着色、最大团、独立集、Steiner 树、背包、Hamilton 圈、3-dimensional matching 等。多年来社区围绕这些问题积累了大量公开 benchmark——TSPLIB、SAT Competition 历年实例、MIPLIB、PACE Challenge（treewidth、cluster editing、Steiner tree 等参数化赛道）、DIMACS Clique/Coloring——上面每个实例都带"已知最优解"或"已知最优下界"，并且很多实例的 gap 至今仍未闭合。我们是否可以在 AI 智能体的帮助下，把这些 benchmark 上之前未知答案的实例向前推进？

2. OEIS 序列探索与自动猜想

OEIS（The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences）由 Neil Sloane 1964 年开创，至今收录了 37 万余条整数序列，每一条都带有标签：`hard` 表示"很难算出更多项"、`more` 表示"还缺项"、`nice` 表示"漂亮而重要"、`sign` 表示"符号未定"、`core` 表示"基础"。它实际上是一份永远写不完的"待研究问题清单"。许多著名的恒等式、组合解释、生成函数都可以从序列出发自动发现——gfun（Salvy–Zeilberger 生成函数代数）、Wilf–Zeilberger 超几何恒等式证明、PSLQ 整数关系算法代表了一种成熟的"自动发现"传统，著名的 BBP π 公式（Bailey–Borwein–Plouffe，1996）就是用 PSLQ 找出来的。我们是否可以让 AI 智能体在 OEIS 上系统地工作？

3. 图论问题与反例搜索

图论中有大量陈述简短却长期未解的问题，且这些问题的进展形式非常一致：往往就是构造一个具体的图——一个可机器验证的图，无论是用来推进下界还是用来证伪猜想，都对应一篇论文。Ramsey 数 R(5,5) 至今未定值（已知在 43 与 48 之间），R(6,6) 的界相差极大；Turán 极值函数 ex(n, H) 对许多禁子图 H 仍未精确；Hedetniemi 关于图张量积色数的猜想挂了 50 年，2019 年才被 Shitov 用一个小规模反例打掉；List-coloring、Graham、Seymour 等多种猜想都还存在"小规模反例可能存在"的空间。Radziszowski 维护的 Dynamic Survey、House of Graphs 数据库、nauty/Traces 的同构过滤工具，已经把"小图枚举 + 性质验证"做成了工业级流程。我们是否可以让 AI 智能体系统地扮演"反例猎手/构造师"的角色？把"找一个 n 顶点、满足性质 P 的图"编码为约束求解问题，结合模拟退火、tabu、Cayley 图/代数图模板，自动搜索 Ramsey、Folkman、Turán、染色、单位距离图等各类问题的新构造或反例。

4. 组合设计与离散结构构造

组合设计研究"把元素按规则分组"的存在性问题：经典的 Kirkman 女生问题（1850）问的是 15 个女生每天 3 人一组散步，能否安排使得任意两人在一周内恰好同组一次——这等价于一个 Steiner 三元系 S(2,3,15)。更一般地，对给定参数 (t, k, n)，是否存在一个 t-(n, k, 1) 设计？某些有限群上是否存在差集？Latin square 在哪些参数下存在正交对 (MOLS)？覆盖数 C(v, k, t) 在哪些参数处可以改进？2014 年 Keevash 用概率方法证明了组合设计的渐近存在性（解决了 Erdős 等几十年的猜想），但具体小参数的存在性/不存在性仍留下大量空白。Handbook of Combinatorial Designs (Colbourn–Dinitz)、La Jolla Covering Repository 等数据库中每一个空格都是一个独立的 open problem。我们是否可以让 AI 智能体填补这些空格？

5. 编码理论：从最优码表到现代码构造

编码理论研究"如何用冗余保护信息"。它的开放问题至少有三层可切入。(1) 最优码表：给定码长 n 与最小距离 d，最多能有多少个码字？这个值 A(n, d) 是离散数学最难的整数之一，Brouwer 维护的表 (win.tue.nl/~aeb) 上每一个 "?" 都是独立的 open problem，有几百个；codetables.de 上量子码 [[n, k, d]] 的空格更多。(2) 代数码结构：自对偶码（Type I/II）的分类与存在性、MDS/MRD 码、Gabidulin 码、Goppa/代数几何码、CSS/stabilizer 量子码，每一族都有可机器判的参数空格。(3) 现代码族构造：LDPC 的 Tanner graph girth、Polar 码冻结集、DNA 存储约束码、分布式存储 LRC、网络编码、McEliece 体系——都能用"构造+性能验证"产出题目。我们是否可以让 AI 智能体在这三层任意切入？

6. 运筹优化：调度、装箱、路径

运筹优化研究"在约束下如何最有效地分配资源"：最少需要多少个箱子装下所有物品 (Bin Packing)？车辆按什么顺序走遍所有客户最省路 (VRP)？job-shop 调度的最短完工时间是多少？大学课表能否在所有约束下排出 (timetabling)？这些问题有几十年的算法工程积累——模拟退火 (Kirkpatrick 1983)、tabu search、遗传算法、大规模邻域搜索 (LNS)——但因为都是 NP-hard，大量实例至今没有证明最优解。OR-Library (Beasley)、CVRPLIB、Taillard 调度实例、MIPLIB、Hard28 Bin Packing 实例族等数据库维护着每个实例的"已知最优解/已知最优下界"，几百个实例上的 gap 仍然存在。我们是否可以让 AI 智能体去刷新这些 gap？

7. 格点模型 / 离散统计物理

格点模型是统计物理与组合学的交叉点：自回避游走 (SAW) 数格子上的不自交路径、lattice animals 数连通子图、polyominoes 数平面上由方格拼成的图形、Ising/Potts 模型描述格子上自旋的相变、dimer covering 描述格点的完美匹配。这些模型背后隐藏着大量精确未知的常数：2D SAW 的临界指数 ν 推测为 3/4 (Nienhuis 1982)，但严格证明至今未到；lattice animals 的增长常数 λ 在 2D/3D 都未精确；polyominoes 总数 A001105 仍只能枚举到 50 多项；非平面格上的 dimer 配分函数往往没有闭式。Iwan Jensen 等用 transfer matrix 把 2D SAW 算到了 70+ 项，Clisby 把 3D SAW 推进到 ~50 项，但临界指数、amplitude ratio 等仍只能靠 series extrapolation 估计。我们是否可以让 AI 智能体在更复杂的格上推进这些工作？

8. 不等式自动发现与证明

不等式是数学最丰富的领域之一：从经典的 AM-GM、Cauchy–Schwarz、Hölder、Jensen，到现代的 sum of squares (SOS)、Positivstellensatz、半正定规划，再到信息论、概率论、机器学习理论中无处不在的浓度不等式、矩阵不等式、互信息不等式。2021 年 Tim Gowers 与 Adam Wagner 等人的工作证明了一个惊人的事实：用强化学习/Transformer 可以从大量数值实验中自动发现新不等式，包括一些之前未知的图论不等式——这意味着 AI 不只是验证工具，它能真正"提出"猜想。但目前的瓶颈也很清楚：SOS 半正定规划虽然原则上能证明多项式非负性，但计算成本随变量数指数爆炸，难以扩展到大不等式；许多不等式的等号条件、推广形式、相互之间的关系都还没有系统化的自动方法。我们是否可以让 AI 智能体在某族不等式上系统地工作？

9. 离散几何、Packing 与 Spherical Codes

离散几何的核心问题之一是"东西能不能塞进去"：单位圆在平面上、单位球在高维空间里能密到什么程度（circle/sphere packing）？球面上最多能放多少个彼此夹角大于 θ 的点（spherical codes，与通信、纠错码、信号设计紧密相关）？球外面最多能"贴"多少个互不重叠的同维球（kissing number，3 维是 12，8 维是 240，24 维是 196560，更高维大多未定）？单位距离图（相邻顶点距离恰为 1）的最大色数到底是 5、6 还是 7（Hadwiger–Nelson 问题，2018 年 de Grey 构造出 5 色例子把下界推到 5，上界 7 至今未改进）？格点多边形有什么性质（Pick 定理、Ehrhart 理论）？这些问题陈述极简、几何直观，但严格结果稀缺——2016–2017 年 Viazovska 用模形式证明 8 维和 24 维的最密球堆积是 E8 与 Leech 格（Fields 奖工作），可见这仍是数学最前沿的领域。我们是否可以让 AI 智能体在这些问题上推进？

10. 数论

数论可能是 open problems 最密集的数学分支。Richard Guy 的《Unsolved Problems in Number Theory》厚厚一本，全是陈述极简、几十年未解的问题：除 4、5、7 之外，n! + 1 = m² 还有其他解吗（Brocard 猜想）？对任意 n > 1，4/n = 1/x + 1/y + 1/z 都有正整数解吗（Erdős–Straus）？连续两个素数的平方根差是否总是小于 1（Andrica）？Carmichael 数（合数但满足 Fermat 小定理形式的 n）的密度与分布如何？哪些 Riesel/Sierpinski 候选最终是合数？abc-型不等式的真实常数是多少？大多数进展的形式就是"找到反例"或"在更大范围内仍无反例"，而 PSLQ（Ferguson–Bailey 整数关系算法）是数论自动发现的瑞士军刀——著名的 BBP π 公式就是它发现的。我们是否可以让 AI 智能体当一位不知疲倦的"反例猎手+猜想发现者"？